구 위를 움직이는 점과 벡터 연산

문제

좌표공간에 원점을 $O$라 하고, 점 $A(8, 0, 0)$이 고정되어 있다. 점 $P$는 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $3$인 구 $S$ 위를 움직인다. 점 $Q$는 $|\vec{OQ}| = 2$를 만족하고, 벡터 $\vec{OQ}$는 벡터 $\vec{OP}$에 수직이다. 선분 $AQ$의 중점을 $M$이라 할 때, $|\vec{OM}|$의 최댓값은?