구와 평면 위 점을 이용한 벡터 내적의 최댓값

문제

좌표공간에서 점 $A$는 원점이고, 점 $P$는 구 $S: (x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9$ 위를 움직이는 점이다. 점 $P$에서 평면 $\alpha: x+y-z=1$에 내린 수선의 발을 $Q$라 할 때, $\vec{PA} \cdot \vec{PQ}$의 최댓값을 구하시오.