구, 평면 위의 점과 벡터 내적의 최댓값

문제

좌표공간에 원점을 $O(0,0,0)$으로 하는 구 $S: x^2+y^2+z^2=9$가 있다. 점 $P$는 구 $S$ 위의 점이다. 점 $Q$는 평면 $z=1$ 위의 점이다. 두 점 $P, Q$ 사이의 거리가 $4$로 일정할 때, $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$의 최댓값을 구하시오.