좌표 공간에서의 벡터 내적 최댓값 문제의 정답은?

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매우 어려움벡터

좌표 공간에서의 벡터 내적 최댓값 문제

좌표 공간에서 두 개의 구와 한 고정된 점이 주어졌을 때, 각 구 위의 점과 고정점을 잇는 두 벡터의 내적의 최댓값을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

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문제

좌표 공간에 점 $A(1, 1, 1)$ 이 있다. 점 $P$ 는 구 $S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 위를 움직이고, 점 $Q$ 는 구 $S_2: (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 1$ 위를 움직인다. 두 벡터 $\vec{AP}$ 와 $\vec{AQ}$ 의 내적 $\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$ 의 최댓값을 구하시오.