구와 직선 위 점들의 중점 조건을 활용한 거리 최댓값 문제

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 세 점 $A(3,0,0)$, $C(0,0,1)$, $S(1,1,0)$이 있다. 점 P는 중심이 원점 $O$이고 반지름의 길이가 3인 구 $x^2+y^2+z^2=9$ 위에 있으며, $\vec{OP} \cdot \vec{OA} = 6$ 을 만족한다. 점 Q는 점 $C(0,0,1)$을 지나고 평면 $x+y-z=0$에 수직인 직선 위에 있다. 선분 PQ의 중점 M에 대하여, 벡터 $\vec{SM}$은 벡터 $\vec{OA}$와 평행하다. 이때, 두 점 P, Q 사이의 거리 $|\vec{PQ}|$의 최댓값은?