벡터를 이용한 자취와 내적의 최댓값

문제

좌표평면 위에 원점 $O(0,0)$, 두 점 $A(2,0)$, $B(0,4)$가 있다. 점 $P$는 $|\vec{AP}| = 2$를 만족하며 움직이고, 점 $Q$는 $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{OB}$를 만족하며 움직인다. 점 $R$은 $\vec{OR} = \frac{1}{2}\vec{OP} + \frac{1}{2}\vec{OQ}$를 만족하는 점이라고 할 때, 내적 $\vec{AR} \cdot \vec{OP}$의 최댓값은?