3차원 공간 벡터와 점의 자취

문제

좌표공간에 두 점 $\mathrm{A}(2, 0, 0)$, $\mathrm{B}(-2, 0, 0)$과 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$이 있다. 점 $\mathrm{P}$는 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) $|\vec{\mathrm{PA}} + \vec{\mathrm{PB}}| = 10$ (나) $\vec{\mathrm{OC}} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = 15$를 만족하는 점 $\mathrm{C}(3, 4, 0)$이 있다.

점 $\mathrm{Q}(1, 0, 0)$에 대하여, $\vec{\mathrm{QO}} \cdot \vec{\mathrm{OP}}$의 최댓값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)