두 점의 위치 벡터 내적의 최댓값

문제

좌표공간에서 원점 $\mathrm{O}$와 두 점 $\mathrm{A}(1, 2, 0)$, $\mathrm{C}(5, 2, 0)$이 주어져 있다. 점 $\mathrm{P}$는 $|\vec{\mathrm{OP}}| = 2$를 만족시키며 움직이고, 점 $\mathrm{Q}$는 $\vec{\mathrm{AQ}} \cdot \vec{\mathrm{CQ}} = 0$을 만족시키며 움직일 때, $\vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{\mathrm{OQ}}$의 최댓값은?