벡터 조건 추론 및 최댓값 문제

문제

좌표공간에 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{A}(3, 0, 0)$이 있다. 점 $\mathrm{P}$는 $\left|\vec{\mathrm{OP}} - \vec{\mathrm{OA}}\right| = 2$를 만족시키고, 점 $\mathrm{Q}$는 $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right| = 6$을 만족시킨다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에 대하여 $\vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{\mathrm{OQ}} = 18$일 때, $\left|\vec{\mathrm{OP}} + \vec{\mathrm{OQ}}\right|$의 최댓값을 구하시오.