3차원 공간에서 벡터 조건과 타원, 구의 교점 문제

문제

좌표공간에 두 점 $F_1(-3, 0, 0)$, $F_2(3, 0, 0)$을 두 초점으로 하는 타원 $E: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$이 $xy$-평면에 놓여 있다. 점 $C(0, 0, 5)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 $P(x, y, z)$가 있다.

(가) 점 $P$의 $xy$-평면 위로의 정사영을 $H$라 할 때, 점 $H$는 타원 $E$ 위에 있다. (나) $|\overrightarrow{PF_1}| = |\overrightarrow{PF_2}|$ (다) 원점 $O(0, 0, 0)$에 대하여 $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OP} - 2\overrightarrow{OC}) = 0$

이때, $\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2}$의 최댓값을 구하시오.