구 위의 두 점과 벡터 합의 길이 최댓값/최솟값

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$이 있다. 점 $C_1(1,1,1)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 구를 $S_1$이라 하자. 점 $C_2(2,2,2)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 구를 $S_2$라 하자. 구 $S_1$ 위의 점 $P$와 구 $S_2$ 위의 점 $Q$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$ (나) 점 $M$은 선분 $PQ$의 중점이다. 점 $M$이 나타내는 $|\vec{OM}|^2$의 최댓값을 $M_{\max}^2$, 최솟값을 $M_{\min}^2$이라 할 때, $M_{\max}^2 + M_{\min}^2$의 값을 구하시오.