공간 벡터의 자취와 내적 최댓값

문제

좌표공간에 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$과 세 점 $\mathrm{A}(0,0,4)$, $\mathrm{B}(2,0,0)$, $\mathrm{C}(0,2,0)$이 있다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $\mathrm{P}$는 $|\vec{\mathrm{OP}} - \vec{\mathrm{OB}} - \vec{\mathrm{OC}}| = 1$을 만족시킨다. 또한, 벡터 $\vec{\mathrm{MP}}$($\mathrm{M}$은 $\vec{\mathrm{OM}} = \vec{\mathrm{OB}} + \vec{\mathrm{OC}}$를 만족하는 점)는 벡터 $\vec{\mathrm{OA}}$에 수직이다. (나) 점 $\mathrm{Q}$는 $|\vec{\mathrm{OQ}}| = 2$를 만족시킨다. 또한, 벡터 $\vec{\mathrm{OQ}}$는 벡터 $\vec{\mathrm{OB}} + \vec{\mathrm{OC}}$에 수직이다.

점 $\mathrm{X}$가 $\vec{\mathrm{OX}} = \vec{\mathrm{OP}} + \vec{\mathrm{OQ}}$를 만족시킬 때, $|\vec{\mathrm{OX}}|^2$의 최댓값을 구하시오.