구, 정사영 그리고 벡터의 최댓값

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 점 $A(4,0,0)$이 있다. 점 $P$는 중심이 $C(2,0,0)$이고 반지름의 길이가 $1$인 구 $S:(x-2)^2+y^2+z^2=1$ 위를 움직이는 점이다. 이때, $\vec{OP} \cdot \vec{OA} \ge 6$ 을 만족시키는 점 $P$에 대하여, 점 $P$의 $y$축 위로의 정사영을 $Q$라 하자. $|\vec{AQ} + \vec{CP}|$의 최댓값은?