공간 벡터와 구의 자취를 이용한 최단 거리 문제

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 점 $C(2,2,2)$가 있다. 점 $P$는 구 $S: (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 9$ 위를 움직이는 점이며, 동시에 벡터 $\vec{OP}$와 $\vec{OC}$에 대해 $\vec{OP} \cdot \vec{OC} = |\vec{OC}|^2$을 만족한다. 점 $Q$는 평면 $\alpha: x+y+z=0$ 위를 움직이는 점이며, 동시에 $|\vec{OQ}| = \sqrt{6}$을 만족한다. 두 점 $P, Q$에 대하여 $|\uprho{\vec{PQ}}|^2$의 최솟값을 구하시오.