구와 평면 정사영을 이용한 벡터 합의 최댓값

문제

좌표공간에 두 점 $A(2,2,2)$와 원점 $O(0,0,0)$가 주어져 있다. 점 $P$는 중심이 $A$이고 반지름이 $3$인 구 $S$ 위를 움직인다. 평면 $\alpha$는 방정식 $x+y+z=6$으로 주어진다. 점 $Q$는 점 $P$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이다. 벡터 $\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{OQ}$라 할 때, $|\vec{OR}|$의 최댓값을 구하시오.