공간 벡터의 자취와 최솟값

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 두 점 $A(1,0,0)$, $B(-1,0,0)$이 있다. 점 $P$는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 구면 $S_P$ 위를 움직인다. 점 $Q$는 $\vec{OQ}$가 $\vec{OP}$의 $x$축에 대한 정사영이 되도록 정해진다. 점 $R$는 다음 두 조건을 만족한다. (가) $\vec{AR} \cdot \vec{BR} = 0$ (나) $\vec{OP} \cdot \vec{OR} = 1$

점 $P, Q, R$가 위 조건을 만족하며 움직일 때, $|\vec{QR}|^2$의 최솟값은?