두 구 위 점들의 벡터 내적 최댓값의 정답은?

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매우 어려움벡터

두 구 위 점들의 벡터 내적 최댓값

두 구 위를 움직이는 두 점이 특정 벡터 조건을 만족할 때, 두 위치 벡터의 내적 최댓값을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

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문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$ 과 두 점 $A(2,0,0)$ , $B(-2,0,0)$ 이 있다. 점 $P$ 는 중심이 $A$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 구 $S_A$ 위를 움직이고, 점 $Q$ 는 중심이 $B$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 구 $S_B$ 위를 움직인다. 두 벡터 $\vec{AP}$ 와 $\vec{BQ}$ 가 서로 수직일 때, $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ 의 최댓값을 구하시오.