벡터를 이용한 공간 도형 문제

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 두 점 $A(3,0,0)$, $B(0,4,0)$, 그리고 점 $C(0,0,5)$가 있다. 점 $P$는 중심이 원점 $O$이고 반지름의 길이가 $1$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=1$ 위에 있는 점이다. 점 $Q$는 $\vec{OQ} = \vec{OP} + \frac{1}{2}\vec{OA}$ 를 만족시키는 점이고, 점 $R$은 $\vec{OR} \cdot \vec{OC} = 0$ 이고 $|\vec{OR}|=2$ 를 만족시키는 점이다. 이때, 벡터 내적 $\vec{QB} \cdot \vec{PR}$ 의 최댓값을 구하시오.