구와 평면 위 점들의 벡터 관계 문제

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=9$가 있습니다. 두 고정점 $A(3,0,0)$와 $B(0,4,0)$에 대하여, 점 $P$는 구 $S$ 위를 움직이는 점이고, 점 $Q$는 점 $P$에서 $xy$-평면에 내린 수선의 발입니다.

벡터 $\vec{AQ}$와 $\vec{OP}$가 서로 수직일 때, $|\vec{BQ}|$의 최댓값은?