좌표공간 벡터 자취를 이용한 최대값 문제

문제

좌표공간에 원점 $\mathrm{O}$와 네 점 $\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(-2,0,0)$, $\mathrm{C}(0,0,1)$, $\mathrm{D}(-1,1,0)$가 있다. 점 $\mathrm{P}$는 다음 두 조건을 모두 만족시킨다. (가) $2\left|\vec{PA}\right| = \left|\vec{PB}\right|$ (나) $\vec{OP} \cdot \vec{OC} = 2$

점 $\mathrm{Q}$는 $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{OD}$를 만족시킨다. 이때 $\left|\vec{AQ}\right|$의 최댓값은?