구면과 벡터 직교 조건을 이용한 길이 최댓값 문제의 정답은?

이 문제의 정답은 5번입니다. 자세한 풀이는 Mathology에서 확인하세요.

어려움벡터

구면과 벡터 직교 조건을 이용한 길이 최댓값 문제

좌표공간에서 원점 중심의 구 위를 움직이는 점 P와, 두 고정점 A, B를 지름으로 하는 구 위를 움직이는 점 Q가 주어집니다. 여기에 P와 Q를 잇는 벡터가 특정 벡터와 수직이라는 조건을 추가하여, 두 점 P, Q 사이 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

단축키: 1~5선택Enter제출/다음

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$ 과 두 점 $A(1,0,0)$ , $B(0,1,0)$ 이 있다. 점 $P$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 구 위를 움직이며, 점 $Q$ 는 $\vec{AQ} \cdot \vec{BQ} = 0$ 을 만족시킨다. 또한, 선분 $AB$ 의 중점을 $M$ 이라고 할 때, 벡터 $\vec{OP}$ 와 벡터 $\vec{MQ}$ 가 서로 수직을 이룬다. 이때, 벡터 $\vec{PQ}$ 의 길이의 최댓값을 $L$ 이라 할 때, $L^2$ 의 값은?