3차원 공간에서의 벡터 연산 최댓값

문제

좌표공간에 세 점 $A(2, 0, 0)$, $B(0, 4, 0)$, $C(0, 0, 3)$ 이 주어져 있다. 두 점 $P$, $Q$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $P$는 두 점 $A$와 $B$로부터 같은 거리에 있고, 원점 $O$로부터의 거리가 $3$이다. (나) 점 $Q$는 두 점 $C$와 $D(0, 0, -3)$을 지름의 양 끝점으로 하는 구 위의 점이다.

벡터 $\vec{AP} \cdot \vec{BQ}$의 최댓값을 구하시오.