3차원 공간에서 벡터와 구의 방정식

문제

좌표공간에 두 점 $A(3,0,0)$과 원점 $O(0,0,0)$이 있다. 점 $P$는 중심이 $C(1,0,0)$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 $S$ 위를 움직이는 점이다. 점 $P$는 또한 $\vec{OP} \cdot \vec{OA} \ge 6$을 만족한다. 점 $Q$는 $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{AP}$를 만족한다. 이때, $|\vec{OQ}|^2$의 최댓값은?