벡터의 내적 최댓값 구하기

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$와 두 점 $A(2,0,0)$, $B(0,4,0)$가 있다. 점 $P$는 $|\vec{OP} - \frac{\vec{OA}}{2}| = |\frac{\vec{OA}}{2}|$를 만족하고, 점 $Q$는 $|\vec{OQ} - \frac{\vec{OB}}{2}| = |\frac{\vec{OB}}{2}|$를 만족한다. 이때, $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$의 최댓값을 구하시오.