두 구 위를 움직이는 두 점에 대한 벡터의 크기 최댓값

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 점 $C(3,0,0)$이 있다. 점 $P$는 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $1$인 구 $S_1$ 위를 움직이고, 점 $Q$는 중심이 $C$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 $S_2$ 위를 움직인다. 두 점 $P, Q$가 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 2$를 만족할 때, $|\vec{PQ}|^2$의 최댓값을 구하시오.