구와 평면의 교선 위를 움직이는 점과 벡터의 크기 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $5$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=25$가 있다. 평면 $\alpha: x+2y-2z=9$와 구 $S$의 교선을 $\mathcal{C}$라 하자. 점 $P$가 원 $\mathcal{C}$ 위를 움직이고, 점 $A(9,0,0)$가 주어져 있다. 선분 $AP$의 중점을 $M$이라 할 때, $|\vec{OM}|^2$의 최댓값은?