구와 평면 교선 위 점을 이용한 벡터 내적 최댓값 문제

문제

좌표공간에 구 $S: x^2+y^2+z^2=25$와 평면 $\alpha: x+2y+2z=9$가 있다. 구 $S$와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 원점 $O(0,0,0)$에 대하여 두 고정된 점 $A(3,0,0)$와 $B(0,3,4)$가 있다. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여, 점 $Q$가 $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{OB}$를 만족시킬 때, $\vec{AP} \cdot \vec{AQ}$의 최댓값을 구하시오.