구 위를 움직이는 점과 벡터의 합 크기 최댓값

문제

좌표공간에 점 $A(0,0,0)$과 구 $S: x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 1$이 있다. 구 $S$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여, $\vec{OQ} = 2\vec{OP} - \vec{OA}$를 만족하는 점 $Q$의 자취를 $S'$이라 하자. 점 $P$는 구 $S$ 위를 움직이고, 점 $Q$는 구 $S'$ 위를 움직일 때, 벡터 $\vec{OX} = \vec{OP} + \vec{OQ}$를 만족하는 점 $X$에 대하여 $|\vec{OX}|^2$의 최댓값은? (단, $O$는 원점이다.)