구와 평면 위 점들의 벡터

문제

좌표공간에 원점을 $O(0,0,0)$이라 하자. 점 $P$는 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $1$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=1$ 위에 있다. 점 $A$의 좌표는 $(1,0,0)$이고, 평면 $\alpha$는 $y=0$이다. 점 $Q$는 점 $P$를 평면 $\alpha$에 내린 정사영이다. 점 $R$은 $|\vec{AR}|=2$이고, 벡터 $\vec{AR}$이 벡터 $\vec{OA}$와 서로 수직인 점이다. 이때, 벡터 $\vec{QR}$과 벡터 $\vec{OA}$의 내적 $\vec{QR} \cdot \vec{OA}$의 최댓값을 구하시오.