구와 평면 위 점의 벡터 합 크기 최대값

문제

좌표공간에서 원점 $O(0,0,0)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 구 $S$의 방정식은 $x^2+y^2+z^2=9$이다. 평면 $\alpha$의 방정식은 $z=3$이고, 점 $A$의 좌표는 $(0,0,6)$이다. 구 $S$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여, 점 $P$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $Q$라 할 때, 벡터 $\vec{AP}+\vec{AQ}$의 크기의 최댓값은?