구 위 점과 수선의 발까지 거리의 최댓값의 정답은?

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어려움벡터

구 위 점과 수선의 발까지 거리의 최댓값

구 위의 한 점과 외부 점을 잇는 직선에 원점에서 내린 수선의 발까지의 거리 제곱의 최댓값 계산 문제

2026학년도 수능고등학교 3학년

문제

좌표공간에서 원점을 $O$ 라 하고, 구 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 가 있다. 점 $A(0, 0, 3)$ 에 대하여 구 $S$ 위의 점 $P$ 와 직선 $AP$ 에 원점 $O$ 에서 내린 수선의 발 $Q$ 가 존재한다. 이때, $|\vec{OQ}|^2$ 의 최댓값은?