구 위의 점과 두 정점에 대한 벡터 내적의 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 $C(1,2,3)$이고 반지름의 길이가 $4$인 구 $S$가 있다. 두 점 $A(2,2,3)$, $B(1,4,3)$에 대하여 구 $S$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여 벡터 내적 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$의 최댓값을 구하시오.