공간 벡터의 내적 최댓값

문제

좌표 공간에 점 $\mathrm{A}$를 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$이라 하자. 점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{C_1}(3,4,0)$이고 반지름의 길이가 $1$인 구 $S_1$ 위를 움직인다. 점 $\mathrm{Q}$는 중심이 $\mathrm{C_2}(1,0,0)$이고 반지름의 길이가 $1$인 $xy$평면 위의 원 $S_2$ 위를 움직인다. 이때, 내적 $\vec{\mathrm{AP}} \cdot \vec{\mathrm{AQ}}$의 최댓값은?