벡터 내적의 최댓값

문제

좌표공간에 원점 $O(0,0,0)$과 두 점 $A(3,4,0)$, $B(1,0,0)$이 있다. 점 $P$는 중심이 $A$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 위를 움직이고, 점 $Q$는 $|\vec{OQ}|=3$이고 $\vec{OQ} \cdot \vec{OB}=2$를 만족하는 원 위를 움직인다. $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$의 최댓값을 구하시오.