좌표평면 위의 벡터 내적 최댓값

문제

좌표평면에서 원점 $O$는 $(0,0)$이고, 점 $A$는 $(4,0)$이다. 점 $P$는 원 $x^2 + y^2 = 4$ 위를 움직이는 점이고, 점 $Q$는 두 점 $B(2,1)$, $C(2,3)$을 이은 선분 $BC$ 위를 움직이는 점이다. 이때, 내적 $\vec{AP} \cdot \vec{PQ}$의 최댓값을 구하시오.