구와 원 위를 움직이는 점에 대한 내적의 최댓값

문제

좌표공간에 원점을 $O$라 하고, 점 $C(0,0,1)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 구를 $S$라 하자. 점 $P$는 구 $S$ 위를 움직이는 점이다. 점 $A(0,0,3)$에 대하여, 점 $Q$는 $|\vec{AQ}|=2$이고 $\vec{AQ} \cdot (0,0,1) = 0$을 만족시키는 점이다. 이때, $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$의 최댓값은?