구 위의 점과 벡터를 이용한 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=4$가 있다. 두 점 $A(3,0,0)$과 $B(-1,0,0)$에 대하여, 구 $S$ 위의 점 $P$에 대해 점 $Q$가 $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{OB}$를 만족시킬 때, $|\vec{AQ}|^2$의 최댓값은?