두 구 위를 움직이는 점과 벡터 내적의 최댓값

문제

좌표 공간에 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$이 있다. 점 $\mathrm{P}$는 구 $S_1: x^2+y^2+z^2=1$ 위를 움직인다. 점 $\mathrm{Q}$는 구 $S_2: (x-3)^2+(y-4)^2+z^2=4$ 위를 움직인다. 이때, 벡터 내적 $\vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{\mathrm{PQ}}$ 의 최댓값을 구하시오.