동전 던지기와 주머니 선택 문제

문제

두 개의 주머니 $A$와 $B$가 있다. 주머니 $A$에는 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어있고, 주머니 $B$에는 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 들어있다. 한 개의 동전을 두 번 던져서 주머니를 선택하고, 선택된 주머니에서 공 한 개를 꺼내는 시행을 한다. 주머니 선택 규칙은 다음과 같다.

• 동전을 두 번 던져서 모두 앞면(HH)이 나오면 주머니 $A$를 선택한다.
• 동전을 두 번 던져서 모두 뒷면(TT)이 나오면 주머니 $B$를 선택한다.
• 동전을 두 번 던져서 앞면과 뒷면이 각각 한 번씩(HT 또는 TH) 나오면 주머니 $A$와 $B$ 중 하나를 같은 확률 $\frac{1}{2}$로 선택한다.

이 시행에서 꺼낸 공이 빨간 공이었을 때, 동전을 두 번 던져서 앞면과 뒷면이 각각 한 번씩 나왔을 확률은?