복합 생산 시스템의 조건부확률

문제

어느 공장에서는 두 종류의 기계 $M_1$과 $M_2$를 사용하여 제품을 생산한다. 전체 제품의 $60\%$는 기계 $M_1$에서, $40\%$는 기계 $M_2$에서 생산된다.

기계 $M_1$에서 생산된 제품이 불량품일 확률은 $0.2$이고, 기계 $M_2$에서 생산된 제품이 불량품일 확률은 $0.4$이다.

생산된 제품은 먼저 품질 검사를 거친다. 초기 검사에서 불량품으로 판정된 제품은 모두 재처리 과정을 거친다. 재처리 과정을 거친 제품은 $75\%$의 확률로 양품으로 수정되지만, $25\%$의 확률로는 여전히 불량품으로 남게 된다.

공장에서 임의로 한 제품을 선택하였을 때, 이 제품이 최종적으로 양품으로 판정되었을 경우, 이 제품이 기계 $M_1$에서 생산되었을 확률은?