함수의 조건과 정적분 값 추론

문제

모든 실수 $x$에 대해 미분가능한 함수 $f(x)$와 $F(x) = \int_0^x t f'(t) dt$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x+2\pi) = f(x)$이다. (나) $f(0) = 0$ 이고, 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) \ge 0$ 이다. (다) 함수 $F(x)$는 $x=2\pi$에서 극값을 갖는다. (라) $\int_0^{2\pi} x^2 f'(x) dx = -8\pi^2$

$\int_0^{4\pi} f(x) dx$ 의 값은?