정적분으로 정의된 함수와 역함수의 정적분

문제

함수 $f(x)$는 $x \ge 0$에서 정의된 이계도함수를 갖는 함수로, $f(0)=0$이고 $f'(0)=1$을 만족한다. 모든 실수 $x \ge 0$에 대하여 다음 등식이 성립할 때, $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\displaystyle \int_0^{e^2-2} g(x) dx$의 값은? (단, $e$는 자연로그의 밑이다.) $\int_0^x (x-t) f''(t) dt = e^{2x} - 2x - 1$