미분방정식과 주기함수 및 부분적분을 활용한 정적분 문제

문제

함수 $f(x)$는 모든 실수에서 미분가능하며 $f(0)=0$이다. 또한, 연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x) = \int_0^x e^{x-t} g(t) dt$ 를 만족한다. 함수 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x+2)=g(x)$를 만족하는 주기함수이며, $0 \le x < 2$ 일 때 $g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$이다. 이때, $f(4)$의 값은?