함수 정의와 역함수 적분

문제

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=1$

(나) 모든 $x \ge 0$에 대하여 $\int_0^x \{f(t) + (t+1)f'(t)\} dt = x f(x+1)$이다.

(다) 양수 $a$에 대하여 $\int_1^{f(a)} f^{-1}(x) dx = 2$이다.

이때, $\int_0^a \frac{x f'(x)}{f(x)} dx$의 값을 구하시오.