지수-로그 함수와 적분 관계 문제

문제

함수 $f(x)$는 구간 $(0, \infty)$에서 미분가능하며 $f(x) > 0$이다. 함수 $g(x)$는 $g(x) = \ln(f(x))$로 정의되고, 상수 $a, b$에 대하여 $g'(x) = \frac{ax+b}{x^2}$를 만족한다. 함수 $h(x) = x^2 g(x)$는 $x=1$에서 극값을 가지며, $h(1) = 0$이다. 또한, $\int_1^e \frac{f'(x)}{f(x)} \ln x \\, dx = 1$이다.

이때, $e \int_1^e \frac{f'(x)}{f(x)} x \\, dx$의 값을 구하시오.