함수 정의와 정적분의 활용

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 $x=0$과 $x=2$에서 극값을 갖는다. (나) 함수 $g(x)$를 $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x (x-t) f(t) dt$ ($x \neq 0$) 라 하고, $g(0) = 0$ 이다. (다) 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 미분가능하며, $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = -1$ 이다.

이때, $\int_0^2 f(x) dx$ 의 값은?