미분의 기초

미분계수

함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 미분계수:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

이것은 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기를 나타냅니다.

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도함수

$f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 각 점에서의 미분계수를 모은 함수입니다.

다항함수의 미분

$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$

$(cf)' = cf', \quad (f \pm g)' = f' \pm g'$

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부정적분

미분의 역과정입니다. $F'(x) = f(x)$일 때:

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

다항함수의 적분

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

초기조건을 이용한 함수 결정

도함수 $f'(x)$와 초기조건 $f(a) = b$가 주어지면:

1. $f'(x)$를 부정적분하여 $f(x) = \int f'(x) \, dx + C$를 구합니다
2. 초기조건 $f(a) = b$를 대입하여 적분상수 $C$를 결정합니다

핵심 전략: 부정적분 문제에서는 반드시 적분상수 $C$를 포함하고, 초기조건으로 $C$를 결정합니다.