연립방정식 해의 조건을 만족하는 부등식 최솟값 구하기

문제

어떤 학생이 연립방정식 $\begin{cases} ax - y = 5 \\ 2x + by = 7 \\ \end{cases}$를 푸는데 다음과 같은 오류를 범했다.

1. 첫 번째 식의 계수 $a$를 $1$로 잘못 보고 풀었더니, 그 해가 $(x_1, y_1)$이었다. 이 해 $(x_1, y_1)$은 원래 연립방정식의 두 번째 식 $2x+by=7$을 만족한다.
2. 두 번째 식의 계수 $b$를 $3$으로 잘못 보고 풀었더니, 그 해가 $(x_2, y_2)$이었다. 이 해 $(x_2, y_2)$는 원래 연립방정식의 첫 번째 식 $ax-y=5$를 만족한다.

이때, 원래 연립방정식의 해를 $(x, y)$라고 할 때, $5x + 3y < k$를 만족하는 가장 작은 정수 $k$의 값은?