정규분포 확률 최댓값 추론

문제

연속확률변수 $X$는 정규분포 $N(\mu, \sigma^2)$을 따르고, 연속확률변수 $Y$는 정규분포 $N(2\mu, (2\sigma)^2)$을 따른다. 다음 조건을 만족할 때, $k$가 양의 정수일 때 함수 $f(k) = P(X \le 18-k) \cdot P(Y \ge 36+k)$의 값이 최대가 되도록 하는 $k$의 값을 구하고, 이 $k$에 대하여 $P(X \ge 18+k)$의 값을 구하시오.

(단, $Z$가 표준정규분포를 따를 때, $P(Z \le z)$의 값은 아래 표준정규분포표를 이용한다.)

| $z$ | $P(Z \le z)$ | |:---:|:---:| | $0.25$ | $0.5987$ | | $0.5$ | $0.6915$ | | $0.75$ | $0.7734$ | | $1$ | $0.8413$ | | $1.5$ | $0.9332$ | | $2$ | $0.9772$ |

조건: (가) $P(X \le 10) = P(X \ge 26)$ (나) $P(X \le 16) + P(Y \ge 40) = 2 \cdot P(Z \ge 1)$