정규분포와 표본평균의 심화 활용 문제

문제

연속확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)$을 따르고, 연속확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma_Y^2)$을 따른다. 확률변수 $X$로부터 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X}_n$은 정규분포 $\mathrm{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$을 따른다.

다음 조건들을 만족시킬 때, $P(Y \ge 30 + 1.5\sigma_Y)$의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, $n$은 자연수이다.)

(가) $P(X \ge 40) = 0.1587$ 이고 $P(X \le 20) = 0.1587$ 이다. (나) $P(|\bar{X}_n - m| \le 2\sigma_Y)$의 값이 최대가 되도록 하는 $m$의 값은 $\mu$와 같다. (다) $P(Y \le 30 - 2\sqrt{n}) = P(\bar{X}_n \ge 30 + \frac{5}{\sqrt{n}})$ 이다. (라) $P(X \ge 30 + \sigma_Y) = P(\bar{X}_n \le 30 - 0.5\sqrt{n})$ 이다.

표준정규분포표 $P(Z \le z)$인 표준정규분포표의 일부이다.

| $z$ | $P(Z \le z)$ | |:---:|:---:| | $0.5$ | $0.6915$ | | $1.0$ | $0.8413$ | | $1.5$ | $0.9332$ | | $2.0$ | $0.9772$ |